Question

知抛物线y=ax²+b（a＞0，b＞0），函数y=b|x|。

问：（1）如图，当抛物线y=ax²+b与函数y=b|x|相切于AB两点时，a、b满足的关系；
（2）满足（1）题条件，则三角形AOB的面积为多少
（3）满足条件（2），则三角形AOB的内心与抛物线的最低点间的距离为多少？
（4）若不等式ax²+b＞b|x|在实数范围内恒成立，则a、b满足什么关系？

Answer 1

解：（1）当x＞0时，直线的解析式为y=bx，
联立两函数的解析式可得：ax²+b=bx，即ax²-bx+b=0，
由于两函数的交点只有一个，因此△=b²-4ab=0，b=4a。
同理可求得当x＜0时，b=4a
因此a、b需满足的条件有b=4a。
（2）由（1）可知：y=ax²+4a，y=4a|x|，
因此A（-2，8a），B（2，8a）
因此S_△AOB=×4×8a=16a。
（3）设三角形AOB的内心为M，过M作MN⊥OA于N，
设AB与y轴的交点为H，设MN=MH=x，
根据△ONM∽△OHA，则有：

即
∴
∴OM=8a-x=4a+
易知抛物线的顶点P坐标为（0，4a）
因此三角形AOB的内心与抛物线的最低点间的距离MP=。
（4）根据题意：ax²+b＞b|x|，即ax²-b|x|+b＞0①，
∵a＞0，b＞0
如果要使①恒成立，b²-4ab＜0，
因此0＜b＜4a。