Question

已知，如图，点P为⊙O外一点，PA与⊙O相切于A点，B为⊙O上一点，PA=PB=

3

，∠APB=60°．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径；
（3）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）证明△OPA≌△OPB即可得到∠OBA=∠OAB=90°，所以PB是⊙O的切线；
（2）根据已知条件解直角三角形APO即可求出AO的长；
（3）设PO交圆于C，然后求出△PAO扇形AOC的面积，由S_阴影=2×（S_△PAO-S_扇形AOC）则可求得结果．

解答：（1）证明：∵PA与⊙O相切于A点，
∴∠PAO=90°，
∵在△OPA和△OPB中，

AO=BO PO=PO PA=PB

，
∴△OPA≌△OPB（SSS），
∴∠OBA=∠OAB=90°，
∴PB是⊙O的切线；

（2）∵PA与⊙O相切于A点，PB且⊙O于B，
∴∠APO=∠BPO=

1

2

∠APB=30°，
∵PA=PB=

3

，
∴AO=

3

×

3

3

=1；
∴求⊙O的半径是1；
（3）设PO交圆于C，
则S_阴影=2×（S_△PAO-S_扇形AOC）=2×（

1

2

×1×

3

-

60×π×1

360

）=

3

-

1

3

π．

点评：此题考查了切线长定理，直角三角形的性质，扇形面积公式等知识．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．