Question

如图，边长为1的等边△OAB，顶点A在x轴上，将△OAB绕点O顺时针旋转30°，使点A落在抛物线y=ax²（a＜0）的图象上．
（1）求抛物线y=ax²的表达式；
（2）等边△OAB继续绕点O顺时针旋转，使点A再次落在抛物线y=ax²的图象上．写出这个点的坐标和最少旋转的度数．

Answer 1

分析：（1）旋转角为30°是特殊角，此时OA₁=OA=1，过A₁作x轴的垂线，解直角三角形可得A₁的坐标，再代入抛物线y=ax²可求解析式；
（2）根据抛物线的对称性，可猜想等边△OAB继续绕点O顺时针旋转，使点A再次落在抛物线y=ax²的图象上时，OA与x轴负半轴夹角为30°，再次旋转120°，此时点A与A₁关于y轴对称．

解答：解：（1）∵△OAB绕点O顺时针旋转30°，A（1，0），则A₁（

3

2

，-

1

2

），
把x=

3

2

，y=-

1

2

代入y=ax²
得a=-

2

3

，
∴y=-

2

3

x2．

（2）等边△OAB继续绕点O顺时针旋转，使点A再次落在抛物线y=ax²的图象，这时旋转后点A坐标为A₂（-

3

2

，-

1

2

），
旋转角为∠A₂OA₁=120°．

点评：本题考查了坐标系里的旋转问题，抛物线的对称性问题，充分体现了形数结合的数学思想．