Question

如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N。

⑴求证：CF是⊙O的切线；

⑵求证：△ACM∽△DCN；

⑶若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，COS∠BOC=，求BN的长。

Answer 1

 ⑴证明：∵△BCO中，BO=CO

∴∠B=BCO 在Rt△BCE中，∠2+∠B=90⁰ 

又∵∠1=∠2

∴∠1+∠BCO=90⁰即∠FCO=90⁰

∴CF是⊙O的切线；

⑵证明：∵AB是⊙O直径

∴∠ACB=∠FCO=90⁰

∴∠ACB－∠BCO=∠FCO－∠BCO

即∠3=∠1

∴∠3=∠2 ∵∠4=∠D∴△ACM∽△DCN

⑶∵⊙O的半径为4，即AO=CO=BO=4，

在Rt△COE中，COS∠BOC=

∴OE=CO·COS∠BOC=4×=1由此可得：BE=3，AE=5

由勾股定理可得：

               

∵AB是⊙O直径，AB⊥CD

∴由垂径定理得：CD=2CE=2∵△ACM∽△DCN

∴  

  ∵点M是CO的中点，CM=

 ∴

  ∴BN=BC－CN=