Question

（2013•怀柔区二模）已知如图：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一点．连结AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S．若AD=4，∠DCB=60°，BS=10．
（1）求AS的长度；
（2）求OR的长度．

Answer 1

分析：（1）过A作AT⊥BC，与CB的延长线交于T，根据菱形的性质得AB=AD=4，∠ABT=60°，所以根据含30度的直角三角形三边的关系可得到BT=2，AT=2

3

，则TS=TB+BS=12，然后根据勾股定理可计算出AS=2

39

；
（2）由AD∥BS得到△AOD∽△SOB，利用三角形相似比得到

AO

SO

=

2

5

，然后根据性质可得到SO=

10 39

7

，利用同样的方法可计算出RS=

6 39

5

，然后利用OR=OS-RS进行计算即可．

解答：解：（1）过A作AT⊥BC，与CB的延长线交于T，如图，
∵四边形ABCD是菱形，∠DCB=60°，
∴AB=AD=4，∠ABT=60°，
∴BT=

1

2

AB=2，AT=

3

BT=2

3

，
∵BS=10，
∴TS=TB+BS=12，
∴AS=

AT2+TS2

=2

39

；

（2）∵AD∥BS，
∴△AOD∽△SOB，
∴

AO

SO

=

AD

BS

，即

AO

SO

=

4

10

=

2

5

，
∴

AO+OS

SO

=

2+5

5

，
∴SO=

5

7

AS=

10 39

7

∵AD∥CS，
∴△ARD∽△SRC，
∴

AD

CS

=

AR

RS

，即

AR

SR

=

4

6

=

2

3

，
∴

AS-SR

RS

=

2

3

，
∴

AS

RS

=

5

3

，
∴RS=

3

5

AS=

6 39

5

，
∴OR=OS-RS=

10 39

7

-

6 39

5

=

8 39

35

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形第三边的直线与其他两边所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．也考查了菱形的性质、含30度的直角三角形三边的关系以及比例性质．