Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4，EF为梯形的中位线，DH为梯形的高，则下列结论：①∠BCD=60°；②四边形EHCF为菱形；③S_△BEH=

1

2

S_△CEH；④以AB为直径的圆与CD相切于点F，其中正确结论的个数为（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

分析：在直角三角形CDH中，CH=BC-BH，而四边形ABHD是矩形，故AD=BH，从而可求CH，利用三角函数可求∠DCH，即∠DCB的值；再利用梯形中位线定理，及F时CD中点，可证四边形EHCF是菱形；△BEH与△EHC时等高的两个三角形，求面积比，也就是求底边的比，即BH：CH；在△CDH中利用勾股定理，可求DH，即AB的值，用其一半与EF比较，相等则切于F，否则不成立．

解答：解：在Rt△DCH中，CD=4，CH=CB-BH=2，
∴∠DCH=60°，即∠BCD=60°，
在四边形EHCF中，又CH=EF=2，CH∥EF，CF=

1

2

CD=2，
∴四边形EHCF是菱形，
∵S_△BEH=

1

2

BH•EB=

1

2

×1×EB=

1

2

EB，
S_△CEH=

1

2

CH•EB=

1

2

×2×EB=EB，
∴S_△BEH=

1

2

S_△CEH．
以AB的直径的圆的半径为

3

，而EF=2，R≠EF．
所以AB为直径的圆与CD不相切于点F．
则①②③正确．故选B．

点评：此题主要考查梯形的性质、勾股定理、菱形的判定、三角形面积及圆的切线的判定．