Question

已知：如图(a)，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，A是的中点，过A点的切线与CB的延长线交于点E．

(1)求证：AB·DA＝CD·BE；

(2)若点E在CB延长线上运动，点A在上运动，使切线EA变为割线EFA，其它条件不变，问具备什么条件可以使原结论成立？(要求画出示意图并注明条件，不要求证明．)

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：见图(a)，连结AC． 　　∵A是的中点， 　　∴＝． 　　∵EA切⊙O于点A，点C在⊙O上， 　　∴∠1＝∠3＝∠2． 　　∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， 　　∴∠ABE＝∠D． 　　∴△ABE∽△CDA． 　　∴＝． 　　∴AB·DA＝CD·BE． 　　(2)解：如图(b)，具备条件＝(或BF＝DA，或∠BCF＝∠DCA，或∠BAF＝∠DCA，或FA∥BD等)，可以使原结论成立．

提示：

要证明AB·DA＝CD·BE，只要连结AC，证明这四条线段所在的两个三角形相似即可． 　　本题中第(2)小问是条件开放性试题，是在图形变化和运动中让考生探求所需的条件，既有新意，又加大了考查力度．