题目内容

如图，抛物线y=ax²+bx- $数学公式$ 过点A（-1，0）、B（5，0）．直线y=-x-1交抛物线的对称轴于点M，点P为线段AM上一点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，过点P作PN∥QM交抛物线的对称轴于点N，设点P的横坐标为m．
（1）求a、b的值．
（2）用含m的代数式表示PQ的长并求PQ的最大值．
（3）直接写出PQ随m的增大而减小时m的取值范围．
（4）当四边形PQMN是正方形时，求出m的值．

解：（1）把A（-1，0），B（5，0）代入y=ax²+bx- $\text{[math]}$ 中，得
$\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴a= $\text{[math]}$ ，b=-2；

（2）由（1）可知a= $\text{[math]}$ ，b=-2，
∴抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ x²-2x- $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的对称轴为x=2，
∵点P的横坐标为m，
∴P的坐标为（m，-m-1），（-1≤m≤2），
∵PQ∥y轴，
∴点Q横坐标为m，
∴Q点的坐标为（m， $\text{[math]}$ m²-2m- $\text{[math]}$ ），
∴PQ=-m-1-（ $\text{[math]}$ m²-2m- $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ m²+m+ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （m-1）²+2，
∴当m=1时，PQ的最大值为2；

（3）由（2）可知PQ=-m-1-（ $\text{[math]}$ m²-2m- $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ m²+m+ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （m-1）²+2，
∴PQ随m的增大而减小时m的取值范围是1≤m≤2；
（4）设MN于x轴的交点为G，则G的坐标为（2，0），
∵M（2，-3），
∴MG=3，AG=3，
∴MG=AG，
∴∠BAM=∠AMG=45°，
∵PQ∥y轴，MN是对称轴，
∴PQ∥MN，
有∵PN∥QM，
∴四边形PQMN是平行四边形，
当PN⊥MN，四边形PQMN是矩形，又∵∠BAM=45°，
∴四边形PQMN是正方形，
∴Q点的纵坐标是-3，即 $\text{[math]}$ m²-2m- $\text{[math]}$ =-3，
解得：m₁=2- $\text{[math]}$ ，m₂=2+ $\text{[math]}$ （不合题意舍去），
∴m的值是2- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）把点A和B的坐标代入抛物线解析式，计算即可求出a、b的值；
（2）根据已知条件可设P的坐标为（m，-m-1），（-1≤m≤2），因为PQ∥y轴，所以点Q横坐标为m，又因为Q在抛物线上，所以Q点的坐标为（m， $\text{[math]}$ m²-2m- $\text{[math]}$ ），所以
PQ=-m-1-（ $\text{[math]}$ m²-2m- $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ m²+m+ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （m-1）²+2，利用函数的性质即可求出PQ的最大值；
（3）根据线段PQ的表达式转化为顶点式解析式，利用二次函数的增减性解答即可；
（4）设MN于x轴的交点为G，则G的坐标为（2，0），首先证明四边形PQMN是平行四边形，当PN⊥MN，四边形PQMN是矩形，又因为∠BAM=45°，所以四边形PQMN是正方形，再求出Q的纵坐标为-3，即 $\text{[math]}$ m²-2m- $\text{[math]}$ =-3，解方程即可求出符合题意的m值．
点评：本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的对边平行且相等的性质，二次函数的最值问题，二次函数的增减性，综合性较强，但难度不大，把点C的坐标代入函数解析式求出b、c的值是解题的关键，也是本题的突破口．