Question

已知函数y=f(x)=

1

3 (x+1)2 + 3 x2+x + 3 x2

，则f（1）+f（2）+…+f（511）=

7

．

Answer 1

分析：把原函数关系中的无理式变形得到y=

1

( 3 x+1 )2+ 3 x+1 • 3 x +( 3 x )2

，然后把分子分母都乘以

3	x+1

-

3	x

使分母成为立方差公式，这样分母化为1，得到f（x）=

3	x+1

-

3	x

，再把x=1，2，…，511分别代入后求和可得到f（1）+f（2）+…+f（511）=

3	2

-

3	1

+

3	3

-

3	2

+…+

3	512

-

3	511

=

3	512

-

3	1

，然后求出512与1的立方根，即可得到答案．

解答：解：∵y=f(x)=

1

3 (x+1)2 + 3 x2+x + 3 x2

=

1

( 3 x+1 )2+ 3 x+1 • 3 x +( 3 x )2

=

3 x+1 - 3 x

( 3 x+1 ) 3-( 3 x )3

=

3 x+1 - 3 x

x+1-x

=

3	x+1

-

3	x

，
∴f（1）=

3	2

-

3	1

，
f（2）=

3	3

-

3	2

，
…
f（511）=

3	512

-

3	511

，
∴f（1）+f（2）+…+f（511）=

3	2

-

3	1

+

3	3

-

3	2

+…+

3	512

-

3	511

=

3	512

-

3	1

=8-1=7．
故答案为7．

点评：本题考查了立方差公式：（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³．也考查了无理式的变形能力．