Question

6．已知关于x的方程x²-（k+2）x+2k=0．
（1）小明同学说：“无论k取何实数，方程总有实数根．”你认为他说的有道理吗？为什么？
（2）若等腰三角形的一边长a=1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）先计算出△=（k+2）²-4•2k=（k-2）²，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；
（2）分a为腰与a为底两种情况，求出方程的解确定出b与c，即可求出周长．

解答 解：（1）小明同学说的有道理．理由如下：
∵方程x²-（k+2）x+2k=0的判别式△=（k+2）²-8k=（k-2）²≥0，
∴无论k取何值时，这个方程总有实数根，
∴小明同学说的有道理；
（2）若a=1是腰，则x=1为已知方程的解，
将x=1代入方程得：k=1，即方程为x²-3x+2=0，
解得：x=1或x=2，
此时三角形三边为1，1，2，不合题意，舍去；
若a=1是底时，b=c为腰，即k=2，方程为x²-4x+4=0，
解得：x₁=x₂=2，
此时b=c=2，即三角形三边长为1，2，2，周长为1+2+2=5．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：①当△＞0，方程有两个不相等的实数根；②当△=0，方程有两个相等的实数根；③当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系．