题目内容

在面积为 $数学公式$ 的等边△ABC中，AD是BC边上的高，E、F 是AD边上的任意两点，则阴影部分的面积是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
4

A
分析：观察图形，证明△BEF与△CEF全等，则阴影部分面积为正三角形面积的一半．
解答：∵△ABC为等边三角形，AD是BC边上的高，
∴AD垂直平分BC，
∴BF=CF BE=CE BD=CD，
又∵EF是公共边，
∴△BEF≌△CEF，
∴S_△BEF=S_△CEF，
∴阴影部分面积是△ABC面积的一半，
∵S_△ABC=4 $\text{[math]}$ ，
∴阴影部分的面积是2 $\text{[math]}$ ．
故选A．
点评：本题考查了等边三角形的性质，利用对称发现并利用△CEF和△BEF的面积相等是正确解答本题的关键．

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如图，边长为2的等边△ABC，射线AB上有一点动P（P不与点A、点B重合），以PC为边作等边△PDC，点D与点A在BC同侧，E为AC中点，连接AD、PE、ED．

（1）试探讨四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）当点P在线段AB上运动，（不与点A、点B重合），若BP=x，四边形APED的面积是否为定值呢？请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，若BP=x，△PDE的面积为y，求出y与x之间的函数关系式，并求出△PDE的面积的最小值，及取得最小值时x的取值．

已知等边三角形纸片ABC的边长为8，D为AB边上的点，过点D作DG∥BC交AC于点G．DE⊥BC于点E，过点G作GF⊥BC于点F，把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图1所示方式折叠，点A，B，C分别落在点A′，B′，C′处．若点A′，B′，C′在矩形DEFG内或其边上，且互不重合，此时我们称△A′B′C′（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．
（1）若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A，B，C，D恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A′B′C′的面积；
（2）实验探究：设AD的长为m，若重叠三角形A′B′C′存在．试用含m的代数式表示重叠

三角形A′B′C′的面积，并写出m的取值范围．（直接写出结果）

如图，反比例函数y=

的图象经过等边三角形的顶点A，等边△ABO顶点O在坐标原点，且边AB与横轴平行，若△ABO的面积为

，则反比函数解析式为

如图，△ABC是边长为 $数学公式$ 的等边三角形，P是AB边上的动点，设BP=x，△PBC的面积为y．

（1）求y关于x的函数关系式及x的取值范围，并在直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）当△BPC的面积为 $数学公式$ 时，求P点与A点的距离？

如图，△ABC是边长为

的等边三角形，P是AB边上的动点，设BP=x，△PBC的面积为y。
（1）求y关于x的函数关系式及x的取值范围，并在直角坐标系中画出该函数的图像；
（2）当△BPC的面积为

时，求P点与A点的距离。