Question

如图1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．

（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明DM=DN；②在这一过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；
（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出写出结论，不用证明．

Answer 1

解：（1）①如图1，连接DB， 在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC， ∴DB=DC=AD，∠BDC=90°， ∴∠ABD=∠C=45°， ∵∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°， ∴∠MDB=∠NDC， ∴△BMD△CND， ∴DM=DN； ②四边形DMBN的面积不发生变化； 由①知△BMD△CND， ∴S△BMD=S△CND， ∴S四边形DMBN=S△DBN+S△DMB=S△DBN+S△DNC =S△DBC=S△ABC=×=； （2）DM=DN仍然成立； 证明：如图2，连接DB， 在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC， ∴DB=DC，∠BDC=90°， ∴∠DCB=∠DBC=45°， ∴∠DBM=∠DCN=135°， ∵∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°， ∴∠CDN=∠BDM， ∴△BMD△CND， ∴DM=DN； （3）DM=DN．