Question

（1）如图1，OC平分∠AOB，点P在OC上，若⊙P与OA相切，那么⊙P与OB位置关系是

相切

．
（2）如图2，⊙O的半径为2，∠AOB=120°，
①若点P是⊙O上的一个动点，当PA=PB时，是否存在⊙Q，同时与射线PA、PB相切且与⊙O相切？如果存在，求出⊙Q的半径；如果不存在，请说明理由．
②若点P在BO的延长线上，且满足PA⊥PB，是否存在⊙Q，同时与射线PA、PB相切且与⊙O相切？如果存在，请直接写出⊙Q的半径；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）作PD⊥OA于A，PE⊥OB于B，则根据角平分线定义得到PD=PE，根据切线的性质由⊙P与OA相切得到PD为⊙P的半径，然后根据切线的判定定理可得到OB为⊙P的切线；
（2）①由PA=PB得到点P为∠AOB的平分线或反向延长线与⊙O的交点，分类讨论：当P点在优弧AB上时，作QC⊥PA于C，易得∠CPQ=30°，设⊙Q的半径为r，即QC=r，则PQ=2r，则OQ=2r-2，根据两圆相切的性质得
2r-2=2-r或2r-2=2+r；同理可得

2 3

3

r-2=2-r和

2 3

3

r-2=2+r，然后解四个方程即可得到满足条件的⊙Q的半径；
②作QH⊥PB于H，由PA⊥PB得∠APB=90°，由⊙Q与射线PA、PB相切，根据切线的性质得PQ平分∠APB，即∠QPH=45°，所以QH=PH，在Rt△POA中易得OP=1，设⊙Q的半径为r，即PH=QH=r，则OH=PH-OP=r-1，在Rt△OQH中，根据勾股定理得OQ²=OH²+QH²=（r-1）²+r²，
若⊙Q与⊙O内切时，OQ=2-r，得到（2-r）²=（r-1）²+r²，若⊙Q与⊙O外切时，OQ=2+r，得到（2+r）²=（r-1）²+r²，然后解两个方程即可得到满足条件的⊙Q的半径．

解答：解：（1）作PD⊥OA于A，PE⊥OB于B，如图1，
∵OC平分∠AOB，
∴PD=PE，
∵⊙P与OA相切，
∴PD为⊙P的半径，
∴PE为⊙的半径，
而PE⊥OB，
∴OB为⊙P的切线；
故答案为相切；

（2）①存在．
∵PA=PB，
∴点P为∠AOB的平分线或反向延长线与⊙O的交点，
如图2，
当P点在优弧AB上时，作QC⊥PA于C，
∴∠CPQ=30°，
设⊙Q的半径为r，即QC=r，则PQ=2r，
∴OQ=2r-2，
若⊙Q与⊙O内切时，2r-2=2-r，解得r=

4

3

；
若⊙Q与⊙O外切时，2r-2=2+r，解得r=4；
当P点在劣弧AB上时，即在P′处，
作Q′C⊥PA于C，
∴∠DQ′P′=30°，
设⊙Q′的半径为r，即Q′D=r，则P′D=

3

3

r，Q′P′=

2 3

3

r，
∴OQ′=

2 3

3

r-2，
若⊙Q′与⊙O内切时，

2 3

3

r-2=2-r，解得r=8

3

-12；
若⊙Q与⊙O外切时，

2 3

3

r-2=2+r，解得r=8

3

+12；
综上所述，存在⊙Q，半径可以为

4

3

，4，8

3

-12，8

3

+12；
②存在．作QH⊥PB于H，如图3，
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∵⊙Q与射线PA、PB相切，
∴PQ平分∠APB，
∴∠QPH=45°，
∴△QHP为等腰直角三角形，
∴QH=PH，
在Rt△POA中，∠AOP=60°，OA=2，
∴OP=1，
设⊙Q的半径为r，即PH=QH=r，则OH=PH-OP=r-1，
在Rt△OQH中，OQ²=OH²+QH²=（r-1）²+r²，
若⊙Q与⊙O内切时，OQ=2-r，则（2-r）²=（r-1）²+r²，解得r₁=1，r₂=-3（舍去）；
若⊙Q与⊙O外切时，OQ=2+r，则（2+r）²=（r-1）²+r²，解得r₁=3+2

3

，r₂=3-2

3

（舍去）；
综上所述，存在⊙Q，其半径可以为1，3+2

3

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定与性质、角平分线定理、圆周角定理和两圆相切的判定与性质；会运用等腰直角三角形的性质；会根据勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系进行几何计算．