Question

如图，已知△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，以AB为直径作⊙O交BC于D，交AC于E．过D作DF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求四边形ABDE的面积．

Answer 1

分析：（1）连接AD、OD，则AD⊥BC，D为BC中点．OD为中位线，则OD∥AC，根据DF⊥AC可得OD⊥DF．得证；
（2）S_{四边形ABDE}=S_△ABC-S_△DCE．易求S_△ABC，关键求S_△DCE．根据切割线定理可求CE；根据等积法可求DF．则可求S_△DCE．

解答： （1）证明：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC．
又AB=AC=13，BC=10，D是BC的中点，
∴BD=5．
连接OD；
由中位线定理，知DO∥AC，
又DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线．

（2）解：由割线定理，得CE•CA=CD•CB，即
CE×13=5×10，得CE=

50

13

．
∵S_△ACD=

1

2

AD•DC=

1

2

AC•DF，即13•DF=12×5，
∴DF=

60

13

，
∴S_{四边形ABDE}=S_△ABC-S_△DCE=

1

2

×10×12-

1

2

×

50

13

×

60

13

=

8640

169

．

点评：此题考查了切线的判定、图形的面积计算等知识点，难度中等．