Question

已知关于x的方程x²-4mx+4m²-6m-8=0有两个实数根α、β，m是负整数．
求：①m的值；②α²+β²的值．

Answer 1

解：①根据题意得△=16m²-4（4m²-6m-8）=24m+32≥0，
解得m≥-，
∵m是负整数．
∴m=-1；
②当m=-1时，方程变形为x²+4x+2=0，
根据题意得α+β=-4，αβ=2，
则α²+β²=（α+β）²-2αβ=（-4）²-2×2=12．
分析：①根据判别式的意义得到△=16m²-4（4m²-6m-8）≥0，解得m≥-，由于m是负整数，所以m=-1；
②先写出m=-1的方程x²+4x+2=0，根据根与系数的关系得α+β=-4，αβ=2，再把α²+β²变形为（α+β）²-2αβ，然后利用整体思想计算．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程的根的判别式．