题目内容
【题目】如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO． 
（1）已知BD= 
，求正方形ABCD的边长；
（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．
【答案】
（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴2AB2=BD2，
∵BD= 
，
∴AB=1，
∴正方形ABCD的边长为1
（2）解：CN=2EM
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OC
∵CF=CA，AF是∠ACF的平分线，
∴CE⊥AF，AE=FE
∴EO为△AFC的中位线
∴EO∥BC
∴ 
∴在Rt△AEN中，OA=OC
∴EO=OC= 
AC，
∴CM= EM
∵AF平分∠ACF，
∴∠OCM=∠BCN，
∵∠NBC=∠COM=90°，
∴△CBN∽△COM，
∴ 
，
∴CN= CM，
即CN=2EM
【解析】（1）利用正方形的性质和勾股定理计算即可；（2）先判断出EO为△AFC的中位线，再由EO∥BC得出 ，进而利用直角三角形得出CM= EM，再判断出△CBN∽△COM得出比例式，进而得出CN= CM，即可得出结论．
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