Question

已知：抛物线y=x²-x+k与轴有两个交点．

    （1）求的取值范围；

（2）设抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，点D是抛物线的顶点，如果△ABD是等腰直角三角形，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，抛物线与y轴交于点C，点E在y轴的正半轴上，且以A、O、E为顶点的三角形和以B、O、C为顶点的三角形相似，求点E的坐标．

Answer 1

（1）根据题意得：△＝＞0，∴k＜，

∴k的取值范围是k＜；       

（2）设A（x₁，0）、B（x ₂，0），则x₁+ x₂＝2，x₁x₂＝2k．

∴AB＝＝＝，

由y＝x²－x+k＝（x－1）²+k －得顶点D（1，k－）

当△ABD是等腰直角三角形时得：＝，∵k＜，∴-k＝，

解得k₁＝-        

∴所求抛物线的解析式是y＝x²－x－；

（3）设E（0，y），则y＞0，

令y＝0得x²－x－＝0，∴x₁＝－1，x₂＝3，∴A（－1，0）、B（3，0），

令＝0得y＝－ ，∴C（0，－），    

当△AOE∽△BOC时，，则OE=，

当△AOE∽△COB时，, 则OE=2，

∴点E的坐标为（0，）或（0,2）