Question

如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75º，以CD为一边的等边DCE的另一顶点E在腰AB上．

（1）求∠AED的度数；

（2）连接AC，试说明：△ABC是等腰三角形；

（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30º．求证： DF =FC；

Answer 1

(1)∵∠BCD=75º，AD∥BC　 ∴∠ADC=105º

　　　　 由等边△DCE可知：∠CDE =60º，故∠ADE =45º

由AB⊥BC，AD∥BC可得：∠DAB=90º ， ∴∠AED=45º

　 (2)方法一：由(1)知：∠AED=45º，∴AD=AE，故点A在线段DE的垂直平分线上．

由△DCE是等边三角形得：CD=CE，故点C也在线段DE的垂直平分线上．

∴AC就是线段DE的垂直平分线，即AC⊥DE

连接AC，∵∠AED =45º，∴∠BAC=45º，又AB⊥BC　 ∴BA=BC．

∴△ABC为等腰三角形

方法二：过D点作DF⊥BC，交BC于点

可证得：△DFC≌△CBE 则DF=BC

从而：AB=CB　 ∴△ABC为等腰三角形

（3）∵∠FBC=30º，∴∠ABF=60º

连接AF，BF、AD的延长线相交于点G，

∵∠FBC=30º，∠DCB=75º，∴∠BFC=75º，故BC=BF

由(2)知：BA=BC，故BA=BF，∵∠ABF=60º，∴AB=BF=FA，

又∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠FAG=∠G=30º

∴FG =FA= FB

∵∠G=∠FBC=30º，∠DFG=∠CFB，FB=FG

∴△BCF≌△GDF

∴DF=CF