题目内容
整数x，x1，x2，x3，…，x2003满足条件：x=0，|x1|=|x+1|，|x2|=|x1+1|，|x3|=|x2+1|，…，|x2003|=|x2002+1|．（1）试用仅含x2003的代数式表示|x1+x2+x3+…+x2002+x2003|，
（2）求|x1+x2+x3+…+x2002+x2003|的最小值．
【答案】分析：（1）将各等式进行平方运算，可去掉绝对值，表示出x20032，然后进行化简运算即可得出答案．
（2）根据已知得出当x=x2=x4=x1960=0，x1=x3=x5=x1959=-1，x1961=1，x1962=2，x1963=3，x2003=43时，等号成立进而求出即可．
解答：解：（1）由已知得：
于是x20032=x2+2（x+x1+x2+x2002）+2003，
又∵x=0，
∴2（x1+x2+x2003）=x20032+2x2003-2003=（x2003+1）2-2004，
即|x1+x2+x3+…+x2002+x2003|=
|（x2003+1）2-2004|．
（2）由于x1+x2+x3+…+x2002+x2003为整数，则x2003+1是偶数，
比较|442-2004|与|462-2004|的大小，可得：
|x1+x2+x3+…+x2002+x2003|≥
|442-2004|=34．
当x=x2=x4=x1960=0，x1=x3=x5=x1959=-1，x1961=1，x1962=2，x1963=3，x2003=43时，等号成立．
所以|x1+x2+x3+…+x2002+x2003|的最小值为34．
点评：此题考查了含有绝对值的函数最值问题，虽然以计算为载体，但首先要有试验观察和分情况讨论的能力．
（2）根据已知得出当x=x2=x4=x1960=0，x1=x3=x5=x1959=-1，x1961=1，x1962=2，x1963=3，x2003=43时，等号成立进而求出即可．
解答：解：（1）由已知得：
于是x20032=x2+2（x+x1+x2+x2002）+2003，
又∵x=0，
∴2（x1+x2+x2003）=x20032+2x2003-2003=（x2003+1）2-2004，
即|x1+x2+x3+…+x2002+x2003|=
|（x2003+1）2-2004|．（2）由于x1+x2+x3+…+x2002+x2003为整数，则x2003+1是偶数，
比较|442-2004|与|462-2004|的大小，可得：
|x1+x2+x3+…+x2002+x2003|≥
|442-2004|=34．当x=x2=x4=x1960=0，x1=x3=x5=x1959=-1，x1961=1，x1962=2，x1963=3，x2003=43时，等号成立．
所以|x1+x2+x3+…+x2002+x2003|的最小值为34．
点评：此题考查了含有绝对值的函数最值问题，虽然以计算为载体，但首先要有试验观察和分情况讨论的能力．
练习册系列答案
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