Question

如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（3，4）、（m，0），且AO=AB．
（1）求m的值；
（2）设P是边OB上的一个动点，过点P的直线l平分△AOB的周长，交△AOB的另一边于点Q．试判断由l及△AOB的两边围成的三角形的面积s是否存在最大（或最小）值？若存在，求出其值，说明此时所围成的三角形的形状，并求直线l的解析式；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）作AD⊥x轴于D，则交点D的坐标为（3，0），根据等腰三角形的性质得出OB=2OD即可求出；
（2）根据勾股定理求出OA，设点P的坐标为（x，0），则PB=6-x，①当点Q在AB上时，PB+QB=

1

2

（AO+AB+OB）=8，求出QB=x+2，作QE⊥x轴，交点为E，证Rt△ABD∽Rt△QBE，得出

QE

AD

=

QB

AB

，求出QE=

4

5

(x+2)，根据三角形的面积公式即可求出面积的最大值和等腰三角形QPB，即可得出P、Q的坐标，设l的解析式为y=k₁x+b₁，ba P、Q的坐标代入得到方程组，求出方程组的解即可得到直线1；当Q在AO上时，由对称性可知，当x=4时，S_最大值=

32

5

，求出点P、Q的坐标，设直线1的解析式是y=k₂x+b₂，把P、Q的坐标代入得到方程组，求出方程组的解即可．

解答：解：（1）作AD⊥x轴于D，则交点D的坐标为（3，0），
∵AO=AB，
∴OB=2OD=6，即m=6，
答：m的值是6．

（2）解：在Rt△AOD中，AO=

AD2+OD2

=5，
设点P的坐标为（x，0），则PB=6-x，
①当点Q在AB上时，
PB+QB=

1

2

（AO+AB+OB）=8，即QB=x+2，
作QE⊥x轴，交点为E，
∵∠ABD=∠QBE，∠ADB=∠QEB，
∴Rt△ABD∽Rt△QBE，
∵

QE

AD

=

QB

AB

，即QE=

4

5

(x+2)，
∴S=

1

2

•PB•QE=

1

2

(6-x)•

4

5

(x+2)=-

2

5

(x-2)2+

32

5

，
当x=2时，S_最大值=

32

5

，
此时PB=QB=4，即△QPB是等腰三角形QE=

4

5

×4=

16

5

，EB=

QB2-QE2

=

42-( 16 5 )2

=

12

5

，OE=OB-EB=

18

5

，
∴点P、Q的坐标分别为（2，0），（

18

5

，

16

5

）
设l的解析式为y=k₁x+b₁，
∴

2k1+b1=0 18 5 k1+b1= 16 5

，
∴

k1=2 b1=-4

，
即l：y=2x-4；
②当Q在AO上时，
∵OA=AB，
∴点Q与①中的点Q关于直线AD对称，
由对称性可知，同法可求，当x=4时，S_最大值=

32

5

此时OP=OQ=4，△QOP是等腰三角形．
此时，点P、Q的坐标分别为（4，0）、(

12

5

，

16

5

)
设l的解析式为y=k₂x+b₂
∴

4k2+b2=0 12 5 k2+b2= 16 5

，
∴

k2=-2 b2=8

，
即l：y=-2x+8，
答：由l及△AOB的两边围成的三角形的面积s存在最大值，其值是

32

5

，此时所围成的三角形的形状是等腰三角形，直线l的解析式是y=2x-4或y=-2x+8．

点评：本题主要考查对一次函数的性质，勾股定理，用待定系数法求一次函数的解析式，解二元一次方程组，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，此题是一个综合性比较强的题目，题型较好，难度适中．