Question

设h_a、h_b、h_c是锐角△ABC三边上的高，求证：

1

2

＜

ha+hb+hc

a+b+c

＜1．

Answer 1

分析：利用直角三角形斜边大于任一直角边得到b＞h_a，同理可得c＞h_b，a＞h_c，得到即

ha+hb+hc

a+b+c

＜1，再设△ABC的垂心为H点，
得到ha+hb+hc＞HA+HB+HC＞

1

2

(a+b+c)，从而问题得证．

解答：解：如图，在Rt△ADC中，由于AC＞AD，故b＞h_a，
同理可证c＞h_b，a＞h_c
∴h_a+h_b+h_c＜a+b+c，即

ha+hb+hc

a+b+c

＜1①
设△ABC的垂心为H点，
由于HA+HB＞AB，HB+HC＞BC，HC+HA＞AC，即HA+HB+HC＞

1

2

(a+b+c)．
从而ha+hb+hc＞HA+HB+HC＞

1

2

(a+b+c)，即

ha+hb+hc

a+b+c

＞

1

2

②
由①、②得

1

2

＜

ha+hb+hc

a+b+c

＜1．

点评：本题考查了几何不等式的知识，解题的关键是正确的变形，题目较难．