Question

（本小题满分10分）如图，直线AB与坐标轴分别交于点A、点B，且OA、OB的长分别为方程x2－6x+8=0的两个根（OA＜OB），点C在y轴上，且OA︰AC=1:2，D（3,0）直线CD垂直于直线AB于点P，交x轴于点D。

（1）求出点A、点B的坐标。

（2）请求出直线CD的解析式。

（3）若点M为坐标平面内任意一点，在直线AB上是否存在这样的点M，使以点B、D、M为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）A（0,2） B（－4,0）

（2）y=－2x+6

（3）（3，） （）

【解析】

试题分析：首先求出一元二次方程的解，然后求出点的坐标；首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法进行求解；根据三角形相似的条件进行解答.

试题解析：（1）∵-6x+8=0， ∴=4，=2

∵0A、0B为方程的两个根，且0A＜0B， ∴0A=2，0B=4 ∴A（0，2），B（-4，0）

（2）∵0A：AC=1：2，OA=2， ∴AC=4， ∴OC=OA+AC=2+4=6， ∴C（0，6）

设直线CD的解析式为y=kx+b， 把C（0，6），D（3，0）分别代入得：

解得：k=－2 b=6 ∴直线CD的解析式为y=－2x+6.

（3）存在， （3，） （）

考点：利用待定系数法求函数解析式、三角形相似的应用.