题目内容
（2005•闸北区一模）如图，点G是等边△ABC的重心，过点G作BC的平行线，分别交AB、AC于点D、E，点M在BC边上．如果以点B、D、M为顶点的三角形与以点C、E、M为顶点的三角形相似（但不全等），那么S△BDM：S△CEM=（7+3
）：2或（7-3
）：2
| 5 |
| 5 |
（7+3
）：2或（7-3
）：2
．| 5 |
| 5 |
分析：首先由点G是等边△ABC的重心，DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理与三角形重心的性质，即可得AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，
=
=
，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
| BD |
| AB |
| EC |
| AC |
| 1 |
| 3 |
解答：
解：∵点G是等边△ABC的重心，DE∥BC，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，
=
=
，
∴BD=
BC，EC=
BC，
当△BDM∽△CME时，则
=
，
设BD=a，CM=x，则CE=a，BC=3a，BM=3a-x，
∴
=
，
解得：x=
a，
∴当BM=
a时，CM=
a，则S△BDM：S△CEM=BM：CM=
；
当BM=
a时，CM=
a，则S△BDM：S△CEM=
．
故答案为：（7+3
）：2或（7-3
）：2．
解：∵点G是等边△ABC的重心，DE∥BC，∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，
| BD |
| AB |
| EC |
| AC |
| 1 |
| 3 |
∴BD=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
当△BDM∽△CME时，则
| BD |
| CM |
| BM |
| EC |
设BD=a，CM=x，则CE=a，BC=3a，BM=3a-x，
∴
| a |
| x |
| 3a-x |
| a |
解得：x=
3±
| ||
| 2 |
∴当BM=
3+
| ||
| 2 |
3-
| ||
| 2 |
7+3
| ||
| 2 |
当BM=
3-
| ||
| 2 |
3+
| ||
| 2 |
7-3
| ||
| 2 |
故答案为：（7+3
| 5 |
| 5 |
点评：此题考查了等边三角形的性质，三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理以及相似三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．
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