Question

【题目】有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面的宽为18米，拱顶离水面的距离为9米，建立如图所示的平面直角坐标系.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）一艘货船在水面上的部分的横断面是矩形.

①如果限定矩形的长为12米，那么要使船通过拱桥，矩形的高不能超过多少米？

②若点，都在抛物线上，设，当的值最大时，求矩形的高.

Answer 1

【答案】（1）此抛物线的解析式为y=-x2；（2）①要使船通过拱桥，矩形的高DE不能超过5米；②矩形CDEF的高为米.

【解析】

（1）根据题意设抛物线的解析式为y=ax2（a≠0）．把已知坐标（9，-9）代入解析式求得a即可；

（2）①已知CD=12，把已知坐标代入函数关系式可求解；

②设DM=a米，可得EF=CD=2DM=2a米、DE=FC=9-a2，根据L=EF+DE+CF求得L的值最大时a的值，代入DE=9-a2问题可解．

解：（1）根据题意，设抛物线解析式为：y=ax2，
将点Ｂ（9，-9）代入，得：81a=-9，
解得：a=-，

此抛物线的解析式为y=-x2；

（2）①当x=6时，y=-×36=-4，
∵9-4=5，
∴矩形的高DE不能超过5米，才能使船通过拱桥；要使船通过拱桥，矩形的高DE不能超过5米；

②设DM=a米，则EF=CD=2DM=2a米，

当x=a时，y=-a2，

∴DE=FC=9-a2，

则L=2a+2（9-a2）=-a2+2a+18=-（a-）2+，

∴当a=时，L取得最大值，矩形CDEF的高为米