Question

（1）问题情境：如图①，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

（2）探究发现：如图②，点M、N在反比例函数y=（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E、F．你发现MN与EF之间有着怎样的位置关系？说明你的理由．
（3）应用发现：如图③，在平面直角坐标系中，函数y=（x＞0，m是不为0的常数）的图象经过点A（1，4）、B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，AC与BD相交于点M，连接AD、DC、CB与AB．已知AD=BC，求直线AB的函数关系式．

Answer 1

解：（1）分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，则∠CGA=∠DHB=90°，
∴CG∥DH
∵△ABC与△ABD的面积相等
∴CG=DH，
∴四边形CGHD为平行四边形
∴AB∥CD；
（2）①证明：连接MF，NE，
设点M的坐标为（x₁，y₁），点N的坐标为（x₂，y₂），
∵点M，N在反比例函数y=（k＞0）的图象上，
∴x₁y₁=k，x₂y₂=k，
∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，
∴OE=y₁，OF=x₂，
∴S_△EFM=x₁•y₁=k，
S_△EFN=x₂•y₂=k，
∴S_△EFM=S_△EFN；
∴由（1）中的结论可知：MN∥EF；
（3）根据（2）可以得到AB∥CD，
又∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥DB，
∴四边形ABCD是菱形，
∵A的坐标是（1，4），
∴M的坐标是（2，1），则B的坐标是（2，2）．
设直线AB的解析式是y=kx+b，
根据题意得：，
解得：，
则直线AB的解析式是：y=-2x+6．
分析：（1）分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，根据CG∥DH，得到△ABC与△ABD同底，而两个三角形的面积相等，因而CG=DH，可以证明四边形CGHD为平行四边形，∴AB∥CD．
（2）判断MN与EF是否平行，根据（1）中的结论转化为证明S_△EFM=S_△EFN即可；
（3）易证四边形ABCD是菱形，据此即可求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求解．
点评：本题考查了反比例函数与几何性质的综合应用，这是一个阅读理解的问题，正确解决（1）中的证明是解决本题的关键．