Question

探究与发现：

探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．

 

探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？

已知：如图，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．

探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？

已知：如图，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．

探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF呢？

请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：_______________________________．

 

Answer 1

【答案】

(1) ∠FDC+∠ECD=180°+∠A．(2) ∠DPC=90°+∠A(3) ∠P=(∠A+∠B)

(4) ∠P=(∠A+∠B+∠E+∠F)−180°．

【解析】解：(1) ∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，·········· 1’

∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A．·············· 2’

(2) ∵DP平分∠ADC，

∴∠PDC=∠ADC．··························· 3’

同理，∠PCD=∠ACD．

∴∠DPC=180°−∠PDC−∠PCD=180°−(180°−∠A)=90°+∠A·········· 4’

(3)延长DA、CB交于点O．

由(2)中结论知，∠P=90°+∠O，由(1)中结论知，∠A+∠B=180°+∠O，

∴∠P=90°+(∠A+∠B−180°)=(∠A+∠B)．················ 6’

(4) ∠P=(∠A+∠B+∠E+∠F)−180°．  8’

此题涉及邻补角定义，三角形的内角和定理及三角形内角和外角的关系，但难度不大．