Question

在平面直角坐标系中，已知函数和函数，不论取何值，都取与二者之中的较小值.

（1）求关于的函数关系式；

（2）现有二次函数，若函数和都随着的增大而减小，求自变量的取值范围；

（3）在（2）的结论下，若函数和的图象有且只有一个公共点，求的取值范围.

Answer 1

解：（1）       ……………………………………….……..2分

（说明：两个自变量取值范围都含有等号或其中一个含等号均不扣分，都没等号扣1分）

 

（2）对函数，当随的增大而减小，

，         ………………………………………..…….3分

又函数的对称轴为直线，            …………………………….……..4分

且，

当时，随的增大而减小，            ………………………….……..5分

                  …………………………………….…………….…..6分

（3）

①若函数与只有一个交点，且交点在范围内.

     则，

       ，

        ，

      得           …………………………….…………….…7分

      此时，符合，  ………….…………..….…8分

    

②若函数与有两个交点，其中一个在范围内，另一个交点在范围外.则， 即，   ………….…9分

方法一：对，当时；当时.

又当时，随的增大而减小，      ……….………10分

  若与在内有一个交点，

则当时；当时，

即当时；当时.

也即   解得，        ……….……..…11分

由，得             …………………………..…12分

综上所述，的取值范围是：或.

方法二：由函数与的一个交点在范围内，另一个交点在范围外，可得：  或

解第一个不等式组，可得 即无解；         …….………10分

解第二个不等式组，可得 即，      ….………11分

由，得.