Question

如图,已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点(B在A的左侧),顶点为C, 点D（1,m）在此二次函数图象的对称轴上,过点D作y轴的垂线,交对称轴右侧的抛物线于E点．

（1）求此二次函数的解析式和点C的坐标；
（2）当点D的坐标为（1,1）时,连接BD、．求证：平分；
（3）点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限,若以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似,求点E的横坐标．

Answer 1

（1）二次函数的解析式为；C（1,-4）；
（2）平分；
（3）E点的横坐标为或或或..

试题分析：解：（1）∵点D（1,m）在图象的对称轴上,
∴．
∴．
∴二次函数的解析式为．
∴C（1,-4）．  
（2）∵D（1,1）,且DE垂直于y轴,
∴点E的纵坐标为1,DE平行于x轴．
∴．
令,则,解得．
∵点E位于对称轴右侧,
∴E．
∴D E =．
令,则,求得点A的坐标为（3,0）,点B的坐标为（-1,0）．
∴BD =．
∴BD =" D" E．
∴．
∴．
∴平分．
（3）∵以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似,
且△GDE为直角三角形,
∴△ACG为直角三角形．  
∵G在抛物线对称轴上且位于第一象限,
∴．
∵A（3,0）C（1,-4）,,
∴求得G点坐标为（1,1）．
∴AG=,AC=．
∴AC="2" AG.
∴GD="2" DE或 DE ="2" GD.
设（t >1） ,
.当点D在点G的上方时,则DE="t" -1,
GD = ()=.
i.如图,当 GD="2" DE时,

则有, = 2(t-1).
解得,.(舍负)
ii. 如图3当DE =2GD时,

则有,t -1=2().
解得,.(舍负)
. 当点D在点G的下方时,则DE="t" -1,
GD="1-" ()= -.
i. 如图,当 GD="2" DE时,

则有, =2（t -1）.
解得,.(舍负) 
ii. 如图,当DE ="2" GD时,

则有,t-1=2（）.
解得,.(舍负)  
综上,E点的横坐标为或或或.