Question

已知二次函数y＝a(x－m)²－a(x－m)(a、m为常数，且a≠0)．

(1)求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；

(2)设该函数的图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D．

 当△ABC的面积等于1时，求a的值：

‚ 当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：y＝a(x－m)2－a(x－m)＝ax2－(2am＋a)x＋am2＋am． 　　因为当a≠0时，[－(2am＋a)]2－4a(am2＋am)＝a2＞0． 　　所以，方程ax2－(2am＋a)x＋am2＋am＝0有两个不相等的实数根． 　　所以，不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．(3分) 　　(2)解：①y＝a(x－m)2－a(x－m)＝(x－)2－， 　　所以，点C的坐标为(,－)． 　　当y＝0时，a(x－m)2－a(x－m)＝0．解得x1＝m，x2＝m＋1．所以AB＝1． 　　当△ABC的面积等于1时，×1×|－|＝1． 　　所以×1×(－)＝1，或×1×＝1． 　　所以a＝－8，或a＝8． 　　②当x＝0时，y＝am2＋am，所以点D的坐标为(0, am2＋am)． 　　当△ABC的面积与△ABD的面积相等时， 　　×1×|－|＝×1×|am2＋am |． 　　所以×1×(－)＝×1×(am2＋am)，或×1×＝×1×(am2＋am)． 　　所以m＝－，或m＝，或m＝．(9分)