题目内容
给出用线段长为2，4为边构成凸四边形以下4种．
（1）①当∠A=60°时，直接写出问题1，3中四边形ABCD的面积？
②在问题2中，∠A能否等于60°？说明理由．
③在问题4中，当∠A=60°时，求四边形ABCD的面积？
（2）①在4个问题的条件中，分别写出他们4个数据的极差
②在4个问题中，分别写出他们四个数据的方差？
（3）有2组数据：（Ⅰ）a a a 3（Ⅱ）a 3 3 3，请比较这2组数据的方差的大小？
| 问题1 | 问题2 | 问题3 | 问题4 | |
| 条件 | AB=4，BC=2，CD=4，DA=2 | AB=4，BC=2，CD=2，DA=4 | AB=4，BC=2，CD=2，DA=2 | AB=4，BC=4，CD=2，DA=4 |
| 图形 |  |
 |
 |
 |
②在问题2中，∠A能否等于60°？说明理由．
③在问题4中，当∠A=60°时，求四边形ABCD的面积？
（2）①在4个问题的条件中，分别写出他们4个数据的极差
②在4个问题中，分别写出他们四个数据的方差？
（3）有2组数据：（Ⅰ）a a a 3（Ⅱ）a 3 3 3，请比较这2组数据的方差的大小？
分析：（1）①过D作DE⊥AB于E，求出∠ADE=30°，求出高DE，根据平行四边形的面积公式求出即可．求出四边形是等腰梯形，求出梯形的高，根据面积公式求出即可．
②连接BD，得出等边三角形ABD，求出BD=CD+BC，根据三角形三边关系定理判断即可．
③连接BD，过B作BH⊥DC于H，过D作DE⊥AB于E，分别求出△ABD和△BDC的面积，即可求出答案．
（2）①根据极差定义求出即可．
②先求出数据的平均数，再根据方差公式求出即可．
（3）先求出数据的平均数，再根据方差公式求出即可．
②连接BD，得出等边三角形ABD，求出BD=CD+BC，根据三角形三边关系定理判断即可．
③连接BD，过B作BH⊥DC于H，过D作DE⊥AB于E，分别求出△ABD和△BDC的面积，即可求出答案．
（2）①根据极差定义求出即可．
②先求出数据的平均数，再根据方差公式求出即可．
（3）先求出数据的平均数，再根据方差公式求出即可．
解答：解：（1）①
过D作DE⊥AB于E，
则∠DEA=90°，
∵∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∵AD=2，
∴AE=
AD=1，
∴由勾股定理得：DE=
，
∵AD=BC=2，AB=DC=4，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD的面积是AB×DE=4
；
如图，
在AB上取一点F，使AD=DF=2，过D作过D作DE⊥AB于E，
则DE=
，
∵AD=DF，∠A=60°
∴△ADF是等边三角形，
∴AF=AD=2，DF=AD=BC=2，
∵AB=4，
∴BF=4-2=2=DC，
∴四边形DFBC是平行四边形，
∴DC∥AB，
即四边形ADCB是等腰梯形，
∴四边形ABCD的面积是
（DC+AB）×DE=
×（2+4）×
=3
；
②
在问题2中，∠A不能等于60°，
理由是：如图，连接BD，
∵AB=4，DA=4，当∠A=60°时，△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=4=2+2=DC+BC，不符合三角形三边关系定理，
即在问题2中，∠A不能等于60°．
③
如图，连接BD，过B作BH⊥DC于H，过D作DE⊥AB于E，
则∠AED=90°，
∵∠A=60°，AB=AD=4，
∴∠ADE=30°，
∴DE=AD•cos60°=2
，
∵AB=AD=4，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=4=BC，
∵BH⊥DC，
∴CH=DH=
DC=
×2=1，
在△BHD中，有勾股定理得：BH=
=
，
∴四边形ABCD的面积S=S△ADB+S△BDC=
×4×2
+
×2×
=4
+
．
（2）①4组数据的极差都是4-2=4．
②∵问题1，数据是4、4、2、2，
∴平均数是
×（4+4+2+2）=3，
∴（4-3）2+（4-3）2+（2-3）2+（2-3）2=4，
方差是S12=
×4=1，
同理：问题2的方差是1，
问题3，∵数据数据是4、2、2、2，
∴平均数是
×（4+2+2+2）=2.5，
∴（4-2.5）2+（2-2.5）2+（2-2.5）2+（2-2.5）2=3，
方差是S32=
×3=0.75，
问题4，∵数据是4、4、，4、2，
∴平均数是
×（4+4+4+2）=3.5，
∴（4-3.5）2+（4-3.5）2+（4-3.5）2+（2-3.5）2=3，
方差是S42=
×3=0.75，
即4组数据的方差依次为1，1，0.75，0.75．
（3）（I）∵a a a 3，
∴平均数是
（a+a+a+3）=
，
∴（a-
）2+（a-
）2+（a-
）2+（3-
）2=
，
方差是=
×
=3×（
）2，
（Ⅱ）a 3 3 3，
∴平均数是
（a+3+3+3）=
，
∴（a-
）2+（3-
）2+（3-
）2+（3-
）2=
，
方差是=
×
=3×（
）2，
即2组数据的方差相等．
过D作DE⊥AB于E，
则∠DEA=90°，
∵∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∵AD=2，
∴AE=
| 1 |
| 2 |
∴由勾股定理得：DE=
| 3 |
∵AD=BC=2，AB=DC=4，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD的面积是AB×DE=4
| 3 |
如图，
在AB上取一点F，使AD=DF=2，过D作过D作DE⊥AB于E，
则DE=
| 3 |
∵AD=DF，∠A=60°
∴△ADF是等边三角形，
∴AF=AD=2，DF=AD=BC=2，
∵AB=4，
∴BF=4-2=2=DC，
∴四边形DFBC是平行四边形，
∴DC∥AB，
即四边形ADCB是等腰梯形，
∴四边形ABCD的面积是
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
②
在问题2中，∠A不能等于60°，
理由是：如图，连接BD，
∵AB=4，DA=4，当∠A=60°时，△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=4=2+2=DC+BC，不符合三角形三边关系定理，
即在问题2中，∠A不能等于60°．
③
如图，连接BD，过B作BH⊥DC于H，过D作DE⊥AB于E，
则∠AED=90°，
∵∠A=60°，AB=AD=4，
∴∠ADE=30°，
∴DE=AD•cos60°=2
| 3 |
∵AB=AD=4，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=4=BC，
∵BH⊥DC，
∴CH=DH=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
在△BHD中，有勾股定理得：BH=
| 42-12 |
| 15 |
∴四边形ABCD的面积S=S△ADB+S△BDC=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 15 |
| 3 |
| 15 |
（2）①4组数据的极差都是4-2=4．
②∵问题1，数据是4、4、2、2，
∴平均数是
| 1 |
| 4 |
∴（4-3）2+（4-3）2+（2-3）2+（2-3）2=4，
方差是S12=
| 1 |
| 4 |
同理：问题2的方差是1，
问题3，∵数据数据是4、2、2、2，
∴平均数是
| 1 |
| 4 |
∴（4-2.5）2+（2-2.5）2+（2-2.5）2+（2-2.5）2=3，
方差是S32=
| 1 |
| 4 |
问题4，∵数据是4、4、，4、2，
∴平均数是
| 1 |
| 4 |
∴（4-3.5）2+（4-3.5）2+（4-3.5）2+（2-3.5）2=3，
方差是S42=
| 1 |
| 4 |
即4组数据的方差依次为1，1，0.75，0.75．
（3）（I）∵a a a 3，
∴平均数是
| 1 |
| 4 |
| 3a+3 |
| 4 |
∴（a-
| 3a+3 |
| 4 |
| 3a+3 |
| 4 |
| 3a+3 |
| 4 |
| 3a+3 |
| 4 |
| 3(a-3)2 |
| 4 |
方差是=
| 1 |
| 4 |
| 3(a-3)2 |
| 4 |
| a-3 |
| 4 |
（Ⅱ）a 3 3 3，
∴平均数是
| 1 |
| 4 |
| a+9 |
| 4 |
∴（a-
| a+9 |
| 4 |
| a+9 |
| 4 |
| a+9 |
| 4 |
| a+9 |
| 3 |
| 3(a-3)2 |
| 4 |
方差是=
| 1 |
| 4 |
| 3(a-3)2 |
| 4 |
| a-3 |
| 4 |
即2组数据的方差相等．
点评：本题考查了方差，极差，等腰梯形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点的综合运用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
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