Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，∠CAB=30°，CD⊥AB于点D，
（1）若CD=，求⊙O的半径；
（2）把△ACD沿AC折叠得到△ACE，求证：EC是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】分析：（1）结合图形，根据直角三角形的性质，可得AC与BC的值，根据勾股定理可得AB即直径的数值；进而求得圆的半径；
（2）根据折叠的性质，结合图形，可得∠OCE=90°，根据切线的定义，可得EC是⊙O的切线．
解答：（1）解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠CAB=30°，
连接BC，
∴∠DCB=30°．
∴BC=2．
∴AC=2．
∵AB²=AC²+BC²=4+12=16，
∴AB=4．
∴⊙O的半径为2．

（2）证明：连接OC，可得∠OCB=2∠CAB=60°，
∵OC=OA，
∴△OCB是等边三角形．
∴∠OCB=60°．
又∵CD是AE的对称轴，
∴∠DCB=60°．
∴∠OCE=90°．
即OC⊥CE．
∴EC是⊙O的切线．
点评：本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．