Question

【题目】如图，动点在以为圆心，为直径的半圆弧上运动（点不与点及的中点重合），连接.过点作于点，以为边在半圆同侧作正方形，过点作的切线交射线于点，连接、.

（1）探究：如左图，当动点在上运动时；

①判断是否成立？请说明理由；

②设，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；

③设，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；

（2）拓展：如右图，当动点在上运动时；

分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由）

Answer 1

【答案】(1)①成立，理由见解析；②为定值1；③为定值45°；（2）不发生变化.

【解析】

试题分析：(1) ①∠MEO=∠MDN=90°，∠MOE=∠DMN,证明△OEM∽△MDN；②过点B作BG⊥MN, 证明△BME≌△BMG, 得BM=MG,再证明△BNG≌△BCN,得GN=CN，从而得k=1；③由②知∠OBM=∠MBG得BM=MG, 有△BNG≌△BCN,得∠GBN=∠CBN,，即可得为定值45°；（2）和（1）的思路相同，不发生变化.

试题解析：

（1）①成立，理由如下：

过点M作ME⊥AB于点E，以BE为边在半圆同侧作正方形BCDE，

∴∠MEO=∠MDN=90°，

∴∠MOE+∠EMO=90°

过M点的的切线交射线DC于点N，

∴∠OMN=90°，

∴∠DMN+∠EMO=90°

∴∠MOE=∠DMN

∴△OEM∽△MDN

②k是定值1，理由如下：

过点B作BG⊥MN,

∵过M点的的切线交射线DC于点N，

∴∠OMN=90°，

∵BG⊥MN,

∴∠BGM=90°，

∴∠OMN=∠BGM=90°，

∴OM∥BG

∴∠OMB=∠MBG,

∵OM=OB

∴∠OMB=∠OBM,

∴∠OBM=∠MBG,

∴△BME≌△BMG,

∴BM=MG,BG=BE,

∵正方形BCDE，

∴BG=BC

∴△BNG≌△BCN,

∴GN=CN

∴MN=MG+NG=ME+CN

即

③为定值45°，理由如下：

由②知：∠OBM=∠MBG, △BNG≌△BCN,

∴∠GBN=∠CBN,

∵正方形BCDE，

∴∠EBC=90°，

∴∴∠MBN=

(2)不发生变化.