题目内容

图1是边长分别为4 $数学公式$ 和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）．
（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；
探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．
（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；
探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围．
（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠AC C′=α（30°＜α＜90°（图4）；
探究：在图4中，线段C′N•E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N•E′M的值，如果有变化，请你说明理由．

解：（1）BE=AD
证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形
∴∠ACB=∠DCE=60°，CA=CB，CE=CD
∴∠BCE=∠ACD
∴△BCE≌△ACD
∴BE=AD．

（2）如图在△CQT中
∵∠TCQ=30°∠RQP=60°
∴∠QTC=30°
∴∠QTC=∠TCQ
∴QT=QC=x
∴RT=3-x
∵∠RTS+∠R=90°
∴∠RST=90°
∴y= $\text{[math]}$ ×3²- $\text{[math]}$ （3-x）²=- $\text{[math]}$ （3-x）²+ $\text{[math]}$ （0≤x≤3）．

（3）答：C′N•E′M的值不变，理由为：
证明：∵∠ACB=60°
∴∠MCE′+∠NCC′=120°
∵∠CNC′+∠NCC′=120°
∴∠MCE′=∠CNC′
∵∠E′=∠C′
∴△E′MC∽△C′CN
∴ $\text{[math]}$ ，
∴C′N•E′M=C′C•E′C= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）BE=AD，可通过证三角形BEC和ACD全等来得出．
（2）由于重合部分的面积无法直接求出，因此可用△RPQ的面积减去△RST的面积来求得（S、T为RP、RQ与AC的交点）．△PRQ的面积易求得．关键是△RST的面积，三角形RST中，由于∠RTS=∠CTQ=60°-∠TCQ=30°，而∠R=60°，因此△RST是直角三角形，只需求出RS和ST的长即可．上面已经求得了∠QTC=∠QCT=30°，因此RT=RQ-QT=RQ-QC=3-x，然后根据△RTS中特殊角的度数即可得出RS和ST的长，进而可得出y，x的函数关系式．
（3）本题可通过证△CE′M和△NCC′相似来求解．
点评：本题考查了图形的旋转和平移变换、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及二次函数的应用等知识点，综合性强，难度较高．

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（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；
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探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△AFC重叠部分的面积为y

，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围．

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（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；
请问：经过多少时间，△PQR与△ABC重叠部分的面积恰好等于

？
（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设
∠AC C′=α（30°＜α＜90，图4）；
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（2007•攀枝花）图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（C与C′重合）的图形．
操作与思考：
操作：若将图1中的△C′DE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD、BE，如图2或如图3；
思考：在图2和图3中，线段BE与AD之间的大小关系是

；
猜想与发现：
根据上面的操作和思考过程，请你猜想当α为

度时，线段AD的长度最大，当α为某个角度时，线段AD的长度最小，最小是

如图1是边长分别为4

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（3）将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图4）；探究：设△PQR移动时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围．