Question

试求出两两互质的不同的三个自然数x，y，z，使得其中任意两个的和能被第三个数整除．

Answer 1

分析：根据题中有三个未知数，我们设法得到一些方程，然后从中解出这些未知数．

解答：解：不妨设x＜y＜z，于是

y+z

x

，

z+x

y

，

x+y

z

都是自然数．
先考虑最小的一个：
1≤

x+y

z

＜

z+z

z

=2，
∴

x+y

z

=1，即z=x+y．
再考虑

z+x

y

，
∵y|（z+x），即y|（y+2x），∴y|2x，
于是1≤

2x

y

＜

2y

y

=2，
∴

2x

y

=1，即y=2x，从而这三个数为x，2x，3x，
∵这三个数两两互质，
∴x=1．
所求的三个数为1，2，3．

点评：本题考查了数的整除，是一道竞赛题，但难度不大．