Question

已知：将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点，将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。
（1）当α=30°时（如图②），求证：AG=DH；
（2）当0°＜α＜90 °时，（1）中的结论是否成立？请根据图③说明理由；
（3）在Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转过程中，DM与DN的比值是否发生改变？如果不改变，请直接写出比值；如果改变，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵∠A=∠ADM=30°   ∴MA=MD   又MG⊥AD于点G   ∴AG=DG ∵∠BDC=180 °- ∠ADE- ∠EDF=180 °-30 °-90 °=60 °= ∠B   ∴CB=CD     ∴C 与N 重叠     又NH⊥DB于点H     ∴DH=BH ∵AD=DB       ∴AG=DH； （2）当0°＜α＜90°时，（1）中的结论成立， 如图③，在Rt △AMG 中，∠A=30°     ∴∠AMG =60°=∠B 又∠AGM=∠NHB=90 °       ∴△AGM∽△NHB   ∴ ……  ① ∵∠MDG=α       ∴∠DMG=90°-α=∠NDH 又∠MGD=∠DHN=90°     ∴Rt△MGD∽Rt△DHN ∴ …… ② ①×②，得   由比例的性质，得 即 ∵AD=DB     ∴AG=DH；     （3）在Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转过程中，值没有改变，。