Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，直线CD与x轴正半轴、y轴负半轴分别交于点D，C，AB与CD相交于点E，点A，B，C，D的坐标分别为（8，0）、（0，6）、（0，﹣3）、（4，0），点M是OB的中点，点P在直线AB上，过点P作PQ∥y轴，交直线CD于点Q，设点P的横坐标为m．

（1）求直线AB，CD对应的函数关系式；
（2）用含m的代数式表示PQ的长；
（3）若以点M，O，P，Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出相应的m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设直线AB的函数解析式为y=k1x+b1，

将A（8，0），B（0，6）代入函数解析式，得

，解得 ，

直线AB的函数解析式为y=﹣ x+6，

设直线CD的函数解析式为y=k2x+b2，

将C（0，﹣3）D（4，0）代入函数解析式，得

，

解得 ，

直线CD的函数解析式为y= x﹣3；

（2）解：联立AB、CD，得

，

解得 ，

即E（6， ）．

当x=m时，y=﹣ m+6，即P（m，﹣ m+6），

当x=m时，y= m﹣3，即Q（m， m﹣3）．

当m＜6时，PQ=﹣ m+6﹣（ m﹣3）=﹣ m+9，

当m≥6时，PQ= m﹣3﹣（﹣ m+6）= m﹣9，

PQ= ；

（3）解：①当OM=PQ，OM∥PQ，∠O=90°时，即矩形OMPQ，得

﹣ m+9=3，

解得m=4，

②当OM=QP，OM∥QP时，即矩形OMQP，得

m﹣9=3，

解得m=8，

综上所述：m=4或m=8时，以点M，O，P，Q为顶点的四边形是矩形．

【解析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得P、Q的函数值，根据两点间距离公式，可得答案；（3）根据矩形的性质：对边相等，可得OM与PQ的关系，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法．