Question

如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交⊙O于点E．
（1）证明：；
（2）证明：∠D=∠AEC；
（3）若⊙O的半径为5，BC=8，求△CDE的面积．

Answer 1

（1）证明：∵BC是⊙O的弦，半径OE⊥BC，
∴．
（2）证明：连接OC，∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°．
∴∠OCB+∠DCF=90°．
∵∠D+∠DCF=90°，
∴∠OCB=∠D，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠AEC，
∴∠D=∠AEC．
（3）解：在Rt△OCF中，OC=5，CF=4，
∴OF==3．
∵∠COF=∠DOC，∠OFC=∠OCD，
∴Rt△OCF∽Rt△ODC．
∴，即．
∴DE=OD﹣OE=﹣5=．
∴=DE·CF=××4=．