Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h．
试说明：（1）

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

；（2）a+b＜c+h；（3）判断以a+b、h、c+h为边的三角形的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）只需证明h²（

1

a2

+

1

b2

）=1，从左边推导到右边；
（2）证明（a+b）²＜（c+h）²；
（3）直角三角形，证明（a+h）²+h²=（c+h）²．

解答：（1）证明：∵Rt△ABC的面积为：

1

2

ab或

1

2

ch，
∴ab=ch，（ab）²=（ch）²，即a²b²=c²h²，
∵a²+b²=c²，
∴a²b²=（a²+b²）h²，
∴

a2b2

a2+b2

=h²，
∴

a2+b2

a2b2

=

1

h2

，
∴

a2

a2b2

+

b2

a2b2

=

1

h2

，
∴

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

；

（2）证明：∵c²＜c²+h²，a²+b²=c²，
∴a²+b²＜c²+h²，
∵ab=ch
∴a²+b²+2ab＜c²+h²+2ch，
∴（a+b）²＜（c+h）²，
∴a+b＜c+h

（3）是直角三角形．
证明：∵（c+h）²=c²+2ch+h²，
h²+（a+b）²=h²+a²+2ab+b²，
∵a²+b²=c²，（勾股定理）
ab=ch（面积公式推导）
∴c²+2ch+h²=h²+a²+2ab+b²，
∴（c+h）²=h²+（a+b）²，
∴根据勾股定理的逆定理知道
以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形

点评：此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题，在证明过程中，注意面积关系式ab=ch的应用．