Question

【题目】如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．

(1)求证：四边形OCED为平行四边形；

(2)求证:△PCE≌△EDQ

(3)如图2,延长PC,QD交于点R.若∠MON=150°,求证:△ABR为等边三角形。

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析

【解析】

（1）利用两边平行且相等证明即可

(2)根据等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质得到∠PCE=∠EDQ,根据边角边公理证明即可;

（3）连结RO,根据线段垂直平分线的判定定理和性质定理得到AR=OR=BR,根据等边三角形的判定定理证明即可.

(1)∵C是AO中点，E是AB中点

∴CE平行且等于AB

∵OD=AB，

∴CE平行且等于OD，

∴四边形OCED为平行四边形

(2)证明:∵△OAP是等腰直角三角形,且点C是OA的中点,

∴△PCA和△PCO都是等腰直角三角形,

∴PC=AC=OC,∠PCO=90°

同理:QD=OD=BD,∠QDO=90°

∵四边形CODE是平行四边形

∴CE=OD，ED=OC,

∴ED=PC,QD=CE

∵CE∥ON.DE∥OM，

∴∠ACE=∠AOD,∠BDE=∠AOD

∴∠ACE=∠BDE

∴∠OCE=∠ODE,

∴∠OCE+∠PCO=∠ODE+∠QDO

即∠PCE=∠EDQ

在△PCE与△EDQ中

∴△PCE≌△EDQ;

(3)连结RO,

∵△OAP和△OBQ均为等腰直角三角形,点C.D分别是OA、OB的中点

∴PR与QR分别是OA,OB的垂直平分线

∴AR=OR=BR

∴∠ARC=∠ORC,∠ORD=∠BRD

∵∠RCO=∠RDO=90°,∠COD=150°

∴∠CRD=30°

∴.∠ARB=60°

∴△ARB是等边三角形。