Question

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0）、（3，4），动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连结MP。已知动点运动了秒。
（1）P点的坐标为（___，___）；（用含的代数式表示）
（2）试求△MPA面积的最大值，并求此时的值；
（3）请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果。

Answer 1

解：（1）（3-x，）；
（2）设△MPA的面积为S，
在△MPA中，MA=3-x，MA边上的高为，
其中0≤x≤3，
∴
∴ S的最大值为，此时；
（3）延长NP交x轴于Q，则有PQ⊥OA
① 若MP=PA
∵PQ⊥MA
∴MQ=QA=x
∴3x=3
∴x=1；
② 若MP=MA，则MQ=3-2x，，PM=MA=3-x
在Rt△PMQ中，
∵
∴
∴
③ 若PA=AM
∵PA=，AM=
∴
∴
综上所述，x=1，或，或。