Question

如图，已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,)．

1.求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

2.设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在直线CD的上方，y轴及y轴的右侧的平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似，请直接写出符合要求的点G的坐标；

3.如图，抛物线的对称轴与x轴的交点M，过点M作一条直线交∠ADB于T,N两点，①当∠DNT=90°时，直接写出 的值；

②当直线TN绕点M旋转时，

试说明: △DNT的面积S_△DNT=;

并猜想 :的值是否是定值?说明理由.

 

Answer 1

 

1.y=  ，顶点D的坐标(1, )

2.

3.是定值

解析:解：抛物线与X轴交于点A(-2,0),B(4,0),与Y轴交于点C(0，），

故可设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-4)  （设一般式也可）

则=a(0+2)(0-4)          ∴a=

抛物线的解析式为：y= (x+2)(x-4)，即y=

化为顶点式：y=       

 ∴顶点D的坐标(1, )                                        2分

(2)             6分

（3）①                                                7分

② i．是定值

理由是:作NH⊥DT于点H，

又∵抛物线是轴对称图形,DM是对称轴，

∴DA=DB，

∵tan∠DAB=

∴∠DAB=60°，

∴△DAB是等边三角形，

∴∠ADB=60°，

∴S_△DNT=DT·NH= DT·DN·sin60°= DT·DN            9分

ii.方法1：（面积法）

作NH⊥DT于H， MM₁⊥DT于M₁，MM₂⊥DN于M₂，

∴NH= DN·sin60°= DN,

又∵△DAB是等边三角形，且DM⊥AB于M，

∴∠TDM=∠NDM=30°,

∴MM₁ = MM₂= DM·sin30°= DM,

∵S_△DNT= DT·DN

∵S_△DTM+ S_△DNM = DT·MM₁+ DN·MM₂

= DT·DMsin30°+ DN·DMsin30

=

∵S_△DNT=S_△DTM+ S_△DNM

∴ DT·DN=

∴DT·DN=3

∴                               12分

方法2：（相似三角形的知识）

作NN₁⊥DM于N₁，TT₁⊥DM于T₁，

又∵△DAB是等边三角形，且DM⊥AB于M，

∴∠TDM=∠NDM=30°,

 ∵∠DN₁N=∠TT₁D=90°，

∴△DN₁N∽△D T₁T

∴

又∵∠TMT₁=∠NMN₁，

             ∵∠NN₁M=∠TT₁D=90°，

∴△NN₁M∽△TT₁M

∴

∴==

∴

∴                                    12分