Question

如图所示，已知A点的坐标为（-1，0），点B的坐标是（9，0）以AB为直径作⊙O′，交y轴负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C作抛物线
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上的一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连接BD求BD直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P是直线BC下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△PCD的面积是△BCD面积的，求此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据△OAC∽△OCB即可求得CO的长，即可确定C的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）连接O'D，求得D的坐标，再根据待定系数法即可求得直线的解析式；
（3）过点P作PH⊥x轴于H，交直线CD于M，求得直线CD的解析式，即可求得△BCD的面积，然后根据P的横坐标的范围，分情况进行讨论，即可求得．
解答：解：（1）AB是⊙O'的直径
∴AC⊥BC
又OC⊥AB
∴△OAC∽△OCB
∴
∴
∴C（0，-3）（1分）
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
抛物线过A（-1，0）、B（9，0）和C（0，-3）
∴解得（2分）
所求抛物线解析式为（3分）

（2）连接O'D，
∵CD平分∠BCE，
∴∠BCD=∠DO'B=45°
∴∠DO'B=90°
又=5
∴D（4，-5）（1分）
设直线BD的解析式为y=kx+b，则解得（2分）
直线BD的解析式为y=x-9．（3分）

（3）设点P（x，）
过点P作PH⊥x轴于H，交直线CD于M，
易得直线CD的解析式为，则M（x，）
易知直线CD与抛物线交点为C（0，-3）和N（，）
∵S_△BCD=S_{四边形ACDB}-S_△ABC
=S_△AOC+S_梯形OCDO'+S_△BO′D-S_△ABC
=15（1分）
设△PCM与△PDM中，边PM上的高分别为h₁和h₂，则
1当0＜x≤42时，如图（1）=5
即2x²-13x+15=0
解得，x₂=5＞4（舍去）
∴P₁（，）（2分）
3当时，如图（2）=5
即2x²-13x+15=0
解得＜4（舍去），x₂=5
∴P₂（5，-8）（3分）
5当6时，如图（3）=5
即2x²-13x-15=0
解得，x₂=-1＜0（舍去）
∴P₃（，）
所有求点P的坐标是P₁（，）、P₂（5，-8）或P₃（，）（4分）
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．