Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P是AC上一点，过P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△EPD.（设AP=x）

（1）若点E落在边BC上，求AP的长；

（2）当AP为何值时，△EDB为等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）AP的长为；

（2）当AP=、、时，△EDB为等腰三角形．

【解析】解：（1）由题意，∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10

∵ AP=DE=x，∴AD=PE=x，PD=x，

点E落在边BC上，PE∥AB，∴=，∴=

∴ x=

（2）∵△EDB为等腰三角形

①若DE=EB（如图）作EM⊥AB于M，则DM=DB=PE=AD=，

∴x=，∴ x=，∴AP=

②若BD=DE（如图）

x=10－x，解之x=，∴AP=。③若BE=BD（如图）

∵DE∥AC， ∴DE⊥BC，

又∵BE=BD ∴DN=DE=AP=x

∵Rt△ADP∽Rt△DNB

∴，∴，∴x=，∴AP=

综上，当AP=、、时，

△EDB为等腰三角形．