Question

已知关于x的一元二次方程x²-x+m-

3

4

=0有两个实根x₁、x₂，
（1）求m的取值范围；
（2）设反比例函数y=

m2

x

（x＞0），正比例函数y′=（x₁+x₂）x，
①若x₁=x₂，求两函数图象的交点坐标；
②若点P（s，t）在反比例函数y=

m2

x

，（x＞0）的图象上，当s＞1时，试用函数的性质比较t与m的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据根的判别式求出△=（-1）²-4×1×（m-

3

4

）≥0，即可得出m的取值范围；
（2）①根据x₁=x₂，得出△=（-1）²-4×1×（m-

3

4

）=0，得出m的值，再利用

1

x

=x，求出即可；
②根据点P（s，t）在反比例函数y=

m2

x

，得出st=m²，进而得出答案．

解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-x+m-

3

4

=0有两个实根x₁、x₂，
∴△=（-1）²-4×1×（m-

3

4

）≥0，
解得：m≤1，
∴m的取值范围：m≤1，
（2）∵反比例函数y=

m2

x

（x＞0），正比例函数y′=（x₁+x₂）x，
①x₁=x₂，
∴△=（-1）²-4×1×（m-

3

4

）=0，
∴m=1，
∴x²-x+1-

3

4

=0，
∴x²-x+

1

4

=0，
∴x₁+x₂=-

b

a

=1，
∴反比例函数y=

m2

x

=

1

x

（x＞0），正比例函数y′=（x₁+x₂）x=x，
∴

1

x

=x，
解得：x=1，（-1舍去）
∴y=1，
∴两函数图象的交点坐标为：（1，1）；
②∵点P（s，t）在反比例函数y=

m2

x

，（x＞0）的图象上，
∴st=m²，
当s＞1时，
∴

m2

t

=s＞1，
∴m²＞t，

点评：此题主要考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．