Question

【题目】如图1，内接于分别是和所对弧的中点，弦分别交于点，连结

（1）求证：是等边三角形．

（2）若

①如图2，当为的直径时，求的长．

②当将的面积分成了的两部分时，求的长．

（3）连结交于点，若：则的值为_______． （请直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①8；②或；（3）

【解析】

（1）利用弧的关系证得，，利用三角形外角的性质证得∠CFG=60°，从而证得是等边三角形；

（2）①连结OD，利用求得直径AC的长，得到半径OD=，证得∠DOC=90°，在Rt中，再利用即可求解；

②利用弧的关系=120°=，证得DE=AB=12，分DF:FG=2:1或DF:FG=1:2两种情况讨论，证得△DCF△CEG，利用对应边成比例分别计算即可求解；

（3）作出如图的辅助线，设，，得到，证得△AHD∽△BHC，△DBG∽△CEG，△DFA∽△CFE，分别求得BC、EF、EG、DF、FA的长，即可求解．

（1）∵∠ACB=60°，

∴优弧 =120°，

∴，

∵D，E分别是，的中点，

∴，

∴∠ACD+∠EDC=60°=∠CFG，

∵∠ACB=60°，

∴△CFG是等边三角形；

（2）①连结OD，

∵AC是圆O的直径，AB=12，

∴∠B=90°，

∵∠ACB=60°，

，

∴AC=，

∴OD=，

由(1)得：△CFG为等边三角形，

∴∠CFG=60，

∵点D是的中点，

∴∠DOC=90°，

∵∠DFO=∠CFG=60°，

，

∴DF=8；

②由（1）得：，

∵D、E分别是、的中点，

∴=120°=，

∴DE=AB=12，

ⅰ)当DF:FG=2:1时，

设FG=，DF=2，

由(1)得：△CFG为等边三角形，

∴，GE=12-3，∠CFE=60，

∵，，

∴∠DCA=∠CED，∠CDE=∠ECB，

∴△DCF△CEG，

∴，

∴，

∴，

∴DF=，EF=12- DF=，

连结OD交AC于点M，

∵D是的中点，

∴OD⊥AC，

在Rt△DMF中，∠DFM=∠CFG=60°，

∴FM=DF=，

∴AC=2(FM+CF)= 2(+)= ；

ⅱ)当DF:FG=1:2时，

设DF=，FG=CF=CG=2，GE=12-3，

同理，∴△DCF△CEG，

∴，

∴，

∴=，

即DF=，EF=12- DF=，CF=，

同理得AC=；

（3）作CP∥FD交BD延长线于点P，连接AD，

∵点D、E分别是、的中点，

∴∠CDF=∠FDH，AD=DC，

∵CP∥FD，

∴∠FDC=∠DCP，∠CPD=∠FDH，，

∴∠DCP=∠CPD，

∴PD=CD，

∴，

∵，

∴设，，则,

∴，

∵，∠AHD=∠BHC，

∴∠DAH=∠CBH，

∴△AHD∽△BHC，

∴，即，

∴，

∴；

由(1)得：△CFG为等边三角形，

∴，∠CFE=60，

∵，

∴∠HBC=∠CEF，

∴△HBC∽△CEF，

∴，即，

∴，

∴，，

∵∠DBG=∠CEG，∠DGB=∠CGE，

∴△DBG∽△CEG，

∴，即，

∴；

∴，

同理：∴△DFA∽△CFE，

∴，即，

∴；

∴，

∴．

故答案为：．