题目内容

在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面 $数学公式$ 米的P点处发球，球的运动轨迹PAN看作一个抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，其高度为3米，离甲运动员站立地点O的水平距离为5米，球网BC离点O的水平距离为6米，以点O为圆点建立如图所示的坐标系，乙运动员站立地点M的坐标为（m，0）
（1）求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）求羽毛球落地点N离球网的水平距离（即NC的长）；
（3）乙原地起跳后可接球的最大高度为2.4米，若乙因为接球高度不够而失球，求m的取值范围．

解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-5）²+3，将点（0， $\text{[math]}$ ）代入可得： $\text{[math]}$ =a（0-5）²+3，
解得：a=- $\text{[math]}$ ，
故抛物线的解析式为：y=- $\text{[math]}$ （x-5）²+3．

（2）当y=0时，- $\text{[math]}$ （x-5）²+3=0，
解得：x₁=5-3 $\text{[math]}$ （舍去），x₂=5+3 $\text{[math]}$ ，
即ON=5+3 $\text{[math]}$ ，
∵OC=6，
∴CN=3 $\text{[math]}$ -1（米）．

（3）若运动员乙原地起跳到最大高度时刚好接到球，
此时- $\text{[math]}$ （m-5）²+3=2.4，
解得：m₁=2，m₂=8，
∵运动员接球高度不够，
∴2＜m＜8，
∵OC=6，乙运动员接球时不能触网，
∴m的取值范围为：6＜m＜8．
分析：（1）设抛物线解析式为y=a（x-5）²+3，将点（0， $\text{[math]}$ ）代入可得出a的值，继而得出抛物线解析式；
（2）令y=0，可得出ON的长度，由NC=ON-OC即可得出答案．
（3）先计算出刚好接到球时m的值，从而结合所给图形可得出运动员接球高度不够m的取值范围．
点评：本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般．