Question

【题目】在中，，点在边上运动，连接，以为一边且在的右侧作正方形.

（1）如果，如图①，试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论；

（2）如果，如图②，（1）中结论是否成立，说明理由.

（3）如果，如图③，且正方形的边与线段交于点，设，，，请直接写出线段的长.（用含的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）；证明见解析； （2）成立；理由见解析；（3）.

【解析】

（1）先证明，得到，再根据角度转换得到∠BCF=90°即可；

（2）过点作交于点，可得，再证明，得，即可证明；

（3）过点作交的延长线于点，可求出，则，根据得出相似比，即可表示出CP.

（1）；

证明：∵，，

∴，

由正方形得，

∵，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，

∴，

即；

（2）时，的结论成立；

证明：如图2，过点作交于点，

∵，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，，

即；

（3）过点作交的延长线于点，

∵，

∴△AQC为等腰直角三角形，

∵，

∴，

∵DC=x，

∴，

∵四边形ADEF为正方形，

∴∠ADE=90°，

∴∠PDC+∠ADQ=90°，

∵∠ADQ+∠QAD=90°，

∴∠PDC=∠QAD，

∴，

∴，

∴，

.