Question

【题目】如图，已知在平面直角坐标系中，A，B两点在x轴上，线段OA，OB的长分别为方程x2-8x+12=0的两个根（OB＞OA），点C是y轴上一点，其坐标为（0，-3）．

（1）求A，B两点的坐标；

（2）求经过A，B，C三点的抛物线的关系式；

（3）D是点C关于该抛物线对称轴的对称点，E是该抛物线的顶点，M，N分别是y轴、x轴上的两个动点．

①当△CEM是等腰三角形时，请直接写出此时点M的坐标；

②以D、E、M、N位顶点的四边形的周长是否有最小值？若有，请求出最小值，并直接写出此时点M，N的坐标；若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（-2，0），B（6，0）（2）y=x2-x-3．(3)，M（0，-），N（，0）．

【解析】

试题分析：（1）利用分解因式法解方程x2-8x+12=0即可得出x的值，再根据OB＞OA即可得出点A、B的坐标；

（2）根据抛物线过x轴上的两点AB，可设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-6）（a≠0），再由点C的坐标利用待定系数法即可求出经过A，B，C三点的抛物线的关系式；

（3）①设点M的坐标为（0，m），根据抛物线的关系式即可得出点E的坐标，由两点间的距离公式可求出线段CE、CM、ME的长度，再根据等腰三角形的性质分三种情况考虑，由边相等得出关于m的方程，解方程即可得出m值，从而得出点M的坐标；

②作点E关于y轴对称的点E′，作点D关于x轴对称的点D′，连接D′E′交x轴于点N，交y轴于点M，此时以D、E、M、N位顶点的四边形的周长最小．根据点C的坐标可得出点D的坐标，根据对称的性质即可得出点D′、E′的坐标，由此即可求出四边形周长的最小值，再根据点D′、E′的坐标，利用待定系数法即可求出直线D′E′的解析式，由此即可得出点M、N的坐标．

试题解析：（1）∵x2-8x+12=0，

∴（x-2）（x-6）=0，

解得：x1=2，x2=6，

∵OB＞OA，

∴OA=2，OB=6，

∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（6，0）．

（2）设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-6）（a≠0），

将C（0，-3）代入得：-3=-12a，

解得：a=，

∴经过A，B，C三点的抛物线的关系式为：y=（x+2）（x-6）=x2-x-3．

（3）①依据题意画出图形，如图1所示．

设点M的坐标为（0，m），

∵抛物线的关系式为y=x2-x-3=（x-2）2-4，

∴点E（2，-4），

∴CE=，CM=|m+3|，ME=．

△CEM是等腰三角形分三种情况：

当CE=CM时，有=|m+3|，

解得：m=-3或m=--3，

此时点M的坐标为（0，-3）或（0，--3）；

当CE=ME时，有=，

解得：m=-3（舍去）或m=-5，

此时点M的坐标为（0，-5）；

当CM=ME时，有|m+3|=，

解得：m=-，

此时点M的坐标为（0，-）．

综上可知：当△CEM是等腰三角形时，点M的坐标为（0，-3）、（0，--3）、（0，-5）或（0，-）．

②四边形DEMN有最小值．

作点E关于y轴对称的点E′，作点D关于x轴对称的点D′，连接D′E′交x轴于点N，交y轴于点M，此时以D、E、M、N位顶点的四边形的周长最小，如图2所示．

∵点C（0，-3），点E（2，-4），

∴点D（4，-3），DE=．

∵E、E′关于y轴对称，D、D′关于x轴对称，

∴EM=E′M，DN=D′N，点E′（-2，-4），点D′（4，3），

∴EM+MN+DN=D′E′=，

∴C四边形DEMN=DE+EM+MN+DN=．

设直线D′E′的解析式为y=kx+b，

则有，解得：，

∴直线D′E′的解析式为y=x-．

令y=x-中x=0，则y=-，

∴点M（0，-）；

令y=x-中y=0，则x-=0，解得：x=，

∴点N（，0）．

故以D、E、M、N位顶点的四边形的周长有最小值，最小值为，此时点M的坐标为（0，-），点N的坐标为（，0）．