Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AE∥DC交BC于E，O是AC的中点，AB=，AD=2，BC=3，下列结论：

①∠CAE=30°；

②四边形ADCE是菱形；

③S_△ADC=2S_△ADE；

④BO⊥CD，

其中正确结论的个数是

1. A.
   4个
2. B.
   3个
3. C.
   2个
4. D.
   1个

Answer 1

B
分析：根据已知采用分析法对各个结论进行分析从而得到最后答案．
解答：∵在直角三角形ABC中，AB=，BC=3
∴∠ACB=30°
∴∠BAC=60°．
∵AE∥DC，AD∥BC
∴四边形AECD是平行四边形
∴CE=AD=2
∴BE=1
∴∠BAE=30°
∴∠CAE=30°   ①正确；
∵∠CAE=∠ACE
∴AE=CE
∴平行四边形AECD是菱形②正确；
∵△ADC和△ADE的面积都是菱形面积的一半，则③错误；
根据菱形的对角线平分一组对角，得∠BCD=60°
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得OB=OC，则∠OBC=∠OCB=30°
∴∠OBC+∠BCD=90°则BO⊥CD．④正确．
所以有三个正确，故选B．
点评：此题要根据锐角三角函数根据已知的边求得直角三角形中的未知边，发现特殊的直角三角形．根据菱形的判定方法证明四边形是菱形．