Question

已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．

 　 (1)求证：△ABC是等腰三角形；

(2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，

∴∠BEC=∠BDC=90°， ∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠BDC+∠DBC+∠ACB=180°，

∴∠ABC=∠ACB，   ∴AB=AC，  ∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：点O在∠BAC的角平分线上．理由：连接AO并延长交BC于F，

∵AB=AC，OB=OC，

又∵OA=OA，

∴△AOB≌△AOC．

∴∠BAF=∠CAF，

∴点O在∠BAC的角平分线上．